j-دامنه عددی یک ماتریس j-هرمیتی و نامساویهای مرتبط

اگر (1-,...,1-,1,...1)j=diag، آن گاه روی فضای برداری مختلط c^n ضرب داخلی نامعین [.,.] را تعریف می کنیم به طوری که ضرب داخلی استاندارد روی فضای c^n می باشد. در این پایان نامه ابتدا فرض می کنیم که همه ماتریس های مورد بحث متعلق به جبر همه ماتریس های از سایز n روی میدان اعداد مختلط c باشند. سپس ماتریس های j-هرمیتی، j-نرمال و j-یکانی را تعریف می کنیم. مطالعه عملگرها روی فضاهای ضرب داخلی نامعین انگیزه های گوناگونی دارد. مقالات زیادی در این مورد در فیزیک ریاضی، نظریه عملگر و جبر عملگرها وجود دارد. با فرض این که aوc ماتریس های از سایز n روی میدان اعداد مختلط باشند، در این پایان نامه، j-دامنه یا j-برد عددی ردی را تعریف کردیم که برای ماتریس های j-هرمیتی aو c،در مراجع پایان نامه،تحت شرایط معین بررسی شده است. در حالتی که j=i، که i ماتریس همانی است، c-برد عددی a را خواهیم داشت که اخیرا کاربردهای آن در طیف نمایی nmr و کنترل کوانتوم و نظریه اطلاعات کوانتوم مورد استفاده قرار گرفته است. اگر aوj ،c-هرمیتی باشند، آنگاه j-برد عددی ردی زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد حقیقی r می باشد. در مرجع [5] پایان نامه، نشان داده شده است که اگر همه مقادیر ویژه ماتریس a حقیقی نباشند آن گاه j-برد عددی ردی تمام خط حقیقی می باشد. در نتیجه فرض کردیم که طیف a حقیقی می باشد. در این پایان نامه نامساوی طیفی ردی را روی ماتریس های هرمیتی aوc یادآوری کردیم. این نامساوی ها توسط شور در سال 1923 کشف شدند. وقتی a نیمه معین مثبت باشد، نتیجه شور را می توان از نتیجه کی فن در 1951 به دست آورد.بعلاوه این نامساوی ها را می توان در بحث c-برد عددی a تفسیر کرد، که مربوط به محاسبات عددی مقادیر ویژه یک ماتریس هرمیتی، به ویژه روش ریلی-ریتز، هستند. در [5]، نامساوی های طیفی برای اثر حاصل ضرب دو ماتریس j-هرمیتی که به طور j-یکانی قطری شدنی اند، بیان شده و نسخه های نامعینی از نامساوی های قدیمی مذکور به دست آورده شده است. در این پایان نامه با این فرض که محدودیت های مشخصی رفع شده اند، موضوع مجددا بررسی شده است، برای مثال حذف این محدردیت که هردو ماتریس باید j-یکانی قطری شدنی باشند. در این پایان نامه j-برد عددی ماتریس a تعریف و بررسی شده است. همچنین شرایطی که تحت آن ها j-برد عددی ردی a مساوی مجموعه اعداد حقیقی r و وضعیتی را که j-برد عددی ردی a یک نیم خط است را بررسی می کنیم. سپس j-برد عددی ردی a را برای ماتریس j-هرمیتی پوچتوان a و ماتریس به طور j-یکانی قطری شدنی c، تشکیل می دهیم. نتایج اصلی، نسخه های نامعین نامساوی های ریشتر-میرسکی، ریلی-ریتز، کی فن و نتایج شور برای ماتریس های j-هرمیتی می باشند.